เมทริกซ์/ดีเทอร์มิแนนต์

สำหรับเมทริกซ์ $2 \times 2$:
$$\det(A) = ad - bc$$

$$\det(A) = (3)(5) - (1)(2) = 15 - 2 = 13$$

บวกสมการทั้งสอง:
$$(2x + y) + (x - y) = 5 + 1$$
$$3x = 6$$
$$x = 2$$

แทนค่าในสมการ $x - y = 1$:
$$2 - y = 1$$
$$y = 1$$

จึงได้ $(x, y) = (2, 1)$

ขยายตามแถวที่ 1 (เพราะมีศูนย์):

$$\det(A) = 1 \cdot \det\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} - 0 \cdot (\ldots) + 2 \cdot \det\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$$

คำนวณย่อย:
- $\det\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} = 1 \cdot 5 - 4 \cdot 2 = 5 - 8 = -3$
- $\det\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = 3 \cdot 2 - 1 \cdot 0 = 6$

$$\det(A) = 1(-3) + 2(6) = -3 + 12 = 9$$

ถ้า $A$ เป็นเมทริกซ์ขนาด $n \times n$ จะมีสมบัติ:
$$\det(kA) = k^n \det(A)$$

ที่นี่ $n = 3$ และ $k = -2$:
$$\det(-2A) = (-2)^3 \det(A) = (-8)(-2) = 16$$

**ก.** จาก $A$ ไป $B$ คือ "สลับแถว 1 กับ 2" (det เปลี่ยนเครื่องหมาย) และ "คูณแถว 3 ด้วย 2" (det คูณ 2)

$$\det(B) = (-1) \cdot 2 \cdot \det(A) = -2\det(A)$$ ⇒ **จริง**

**ข.** $\det(C) = \det([a; b; a+c]) = \det([a; b; a]) + \det([a; b; c])$

โดย $\det([a; b; a]) = 0$ (เพราะมีแถวซ้ำกัน)

$$\det(C) = 0 + \det(A) = \det(A)$$ ⇒ **จริง**

**ค.** $\det(B) + \det(C) = (-2\det A) + (\det A) = -\det A$

ซึ่งไม่เป็น 0 เสมอไป ⇒ **เท็จ**

สรุปจริงเฉพาะ **ก และ ข**