แคลคูลัส (อินทิกรัล/เปลี่ยนตัวแปร)

ให้ $u = 1 + x^2$ ⇒ $du = 2x \, dx$

เมื่อ $x = 0$ ⇒ $u = 1$
เมื่อ $x = 1$ ⇒ $u = 2$

$$\int_0^1 \frac{2x}{1 + x^2} \, dx = \int_1^2 \frac{1}{u} \, du = [\ln u]_1^2 = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2$$

ใช้ $u = \sin x$ ⇒ $du = \cos x \, dx$

เมื่อ $x = 0$ ⇒ $u = 0$
เมื่อ $x = \frac{\pi}{2}$ ⇒ $u = 1$

$$\int_0^{\pi/2} \sin x \cos x \, dx = \int_0^1 u \, du = \left[\frac{u^2}{2}\right]_0^1 = \frac{1}{2}$$

จาก $F'(2x) = f(x+2)$

ให้ $x = u + 2$ ⇒ $u = x - 2$ และ $dx = du$

$$\int_2^3 f(x) \, dx = \int_0^1 f(u+2) \, du = \int_0^1 F'(2u) \, du$$

ให้ $v = 2u$ ⇒ $dv = 2du$ ⇒ $du = \frac{dv}{2}$

$$\int_0^1 F'(2u) \, du = \frac{1}{2} \int_0^2 F'(v) \, dv = \frac{1}{2}(F(2) - F(0)) = \frac{1}{2}(10 - 4) = 3$$

พื้นที่ระหว่างกราฟ = $\int (\text{กราฟบน} - \text{กราฟล่าง}) \, dx$

ในช่วง 0 ถึง 2: เส้นตรง $y = 2x$ อยู่เหนือพาราโบลา $y = x^2$

$$\text{พื้นที่} = \int_0^2 (2x - x^2) \, dx = \left[x^2 - \frac{x^3}{3}\right]_0^2$$
$$= \left(4 - \frac{8}{3}\right) - 0 = \frac{12 - 8}{3} = \frac{4}{3}$$

ให้ $u = 1 + x^2$ ⇒ $du = 2x \, dx$ ⇒ $x \, dx = \frac{du}{2}$

เมื่อ $x = 0$ ⇒ $u = 1$
เมื่อ $x = 1$ ⇒ $u = 2$

$$\int_0^1 x\sqrt{1 + x^2} \, dx = \int_1^2 \sqrt{u} \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_1^2 u^{1/2} \, du$$

$$= \frac{1}{2} \cdot \left[\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_1^2 = \frac{1}{3}(2^{3/2} - 1) = \frac{1}{3}(2\sqrt{2} - 1)$$